Modelos de inventarios

Modelo EOQ Sin Faltante

Este es un modelo de demanda independendiente y constante. Tiene los siguientes supuestos:

• Demanda constante y conocida (determinística).
• No se admiten faltantes.
• Existe un costo de mantener inventario guardado.
• Tiene un costo de pedido.
• Los costos se mantienen constantes.
• Reposición es instantánea.

En la siguiente gráfica se puede ver el comporamiento de este modelo.

Donde Q es la cantidad de unidades por las cuales se hace un pedido y D la demanda de estas unidades.

En la gráfica podemos ver que se comienza con un nivel máximo de inventario determinado por Q, y a medida que pasa el tiempo, y por efecto de la demanda, las cantidades van disminuyendo hasta llegar a cero. Cuando el nivel de ivenarios llega a este punto, se vuelve a hacer un pedido de Q unidades para llegar nuevamente al nivel máximo de inventario y comenzar nuevamente el ciclo.

Para calcular los costos mediante este sistema, basta con sumar cada uno de los costos en los que se incurre

Llamemos Cu a el costo unitario de adquisición, y que va a estar determinado por la cantidad de unidades del pedido.

Cp hace referencia al costo de hacer un pedido, es decir el costo que se invierte e todo lo necesario para que el pedido llegue desde los proveedores hasta la empresa.

Cmi es el costo de mantener el inventario, es decir, el costo que se invierte en almacenamiento y todo lo que aquello acarrea. Este costo depende del tiempo que se mantenga almacenado el inventario; este tiempo está representado por la región sombreada en la gráfica, y para facilitar los calculos, se toma el tiempo promedio, lo que está representado por el área de dicha región, que al ser un triángulo tenemos que:

Quedando la fórmula final, de la siguiente forma:

Esta fórmula nos indica el costo tener un inventario con cantidades Q en un periodo, pero nos interesa es saber el costo total anual del inventario, es por esto que debemos tener en cuenta el número de veces al año que se hace un pedido,es decir el periodo asi como también el tiempo que dura cada pedido, esto viene dado por:

Donde N es el número de periodos, t el tiempo de duración de cada pedido, D la demanda anual y Q la cantidad de unidades de cada pedido.

Entonces la fórmula de costo total anual se obtiene multiplicando por N, de la siguiente forma:

Ahora reemplazando N por D/Q, tenemos:

Reemplazando t por Q/D, tenemos:

Ahora bien, el objetivo es obtener la menor expresión del costo total anual, esto se logra encontrando la Q óptima. Para hacer esto, hay que derivar CTA(Q) con respeco a Q e igualar a 0:

Ahora, despejando Q:

Cabe aclarar que cuando Q es óptima, el costo de mantener inventario va a ser igual al costo de pedir, como se ve en la siguiente gráfica.

Si la cantidad de pedido es mayor que la óptima, los costos de mantener inventario van a ser mayores que los costos de pedir. Por el contrario si la cantidad de pedido es menor a la óptima, los costos de pedir van a ser mayores que los costos de mantener inventario.

Modelo EOQ Con faltantes

En este modelo se aplican los mismos supuestos del modelo anterior a excepción de que en éste si se admiten faltantes.

Es normal que ocurran pequeños faltantes cuando por ahorrar dinero en el tiempo de preparación se pida un lote que no alcance para cubrir todo el ciclo. Sin embargo también existirá un costo asociado a los faltantes, que llevará a que estos no sean excesivos.

La siguiente gráfica muestra el comportamiento de este modelo

También tenemos en este modelo costo por adquisición (Cu), costo por mantener inventario, costo por pedir y además un costo por faltante (Cf). El costo por mantener depende del tiempo promedio desde el nivel 0 de inventario hasta el nivel máximo Imax, es decir la región gris de la gráfica. El costo por faltante viene depende del tiempo promedio de la región amarilla de la gráfica, es decir, desde el nivel 0 hasta el nivel mínimo denotado por S.

El costo en este modelo será entonces:

Además, de la gráfica tenemos que:

Y también,

Reemplazando Imax, t1 y t2 en la ecuación principal, tenemos:

Al multiplicar por N, y hacer los respectivos reemplazos, obtenemos:

En este modelo, se neceesita conocer dos cantidades óptimas, Q y S, por lo tanto es necesario realizar la derivada parcial con respecto a Q y con respecto a S e igualarlas a 0.

Resolviendo las derivadas, tenemos que:

De la ecuación (2) se despeja Q y (Q-S),

Reemplazando Q y (Q-S) en (1), reduciendo términos, se obtienen las soluciones óptimas

Este modelo, al igual que el anterior, tiene algunas inconsistencias que lo hacen poco aplicable, una de ellas se puede observar en el caso de que no cueste nada hace un pedido, si esto ocurre las cantidades tanto de Q como de S óptimas serán cero, lo que sin duda alguna es un absurdo.

Modelo LEP (Lote Económico de Producción) Sin Faltante

En este modelo mantiene la misma dinámica de los modelos EOQ, sólo que el LEP es para empresas que se dediquen a producir sus productos y no a simplemente comprar y vender. Es por eso que este modelo considera una tasa de produccion, la cual es denotada con la letra R. Cabe aclarar que esta tasade producción debe ser mayor a la demanda (R mayor que d). La representación gráfica del modelos LEP se muestra a continuación:

Podemos ver que en este modelo, se empieza a producir a una tasa R hasta llegar al máximo de cantidades (línea punteada) pero este comportamiento no es el real, ya que no se tiene en cuenta las cantidades que se van demandando a medida que se produce, es por eso que el comportamiento real vendrá dado por R-d, donde el punto máximo correspondrá a la máxima cantidad de inventarios (Imax). Cabe aclarar que la producción comienza en el origen y termina cuando llega al punto de inventario máximo, es decir la producción se da en el tiempo t1. A partir de ese momento comienzan a bajar las cantidades de inventarios por efecto de la demanda hasta que llegan a cero, este intervalo es el tiempo t2. En este punto se vuelve a iniciar la produción para comenzar nuevamente el ciclo.

Es importante aclarar que no se incurre en costos de pedir ya que se producen los bienes y no se compran, pero si se incurre en costos de operación (Cop) que hace referencia a todos los costos que se generan de preparación de maquinaria, consumo de energía energía inherentes a la preparación, y en genrral todos los costos que tengan que ver con la preparación para producir distintos lotes de productos .

La fórmula del costo viene dada por:

Como se puede ver también se incurre en costo unitarios de producción que son determinados por las cantidades producidas y costo de mantener inventario, el cual depende del tiempo promedio que esta representado por el area de la región sombreada, tal cual como pasa en el modelo EOQ.

De la gráfica sabemos que:

Introduciendo la ecuación (2) en (1), tenemos que:

Además tenemos que:

Reemplazando Imax y t en la fórmula inicial, tenemos:

Ahora multiplicamos por N para obtener el costo total anual:

Reemplazando N=D/Q, obtenemos el modelo final

Como buscamos las cantidades óptimas a producir, derivamos e igualammos a cero.

Por último, despejando Q, obtenemos la fórmula pra las cantidades óptimas

Este modelo también presenta las inconsistencias del modelo EOQ, que lo hace de poca aplicabilidad en la realidad.

Modelo LEP con faltantes

Este modelo responde de manera similar al modelo LEP simple, con la diferencia de que se admiten los faltantes. La sigueinte gráfica muestra el comportamiento de este modelo.

Al igual que el LEP sin faltante, en este modelo se tiene una tasa de producción R y una demanda que contrarresta dicha tasa (R-d). La diferencia está en que la gráfica comienza desde un punto negativo, es decir, que se comienza a producir con un deficit de unidades, es decir con faltantes. Esta situación continua hasta que se llega al punto de cero faltantes (t4), se sigue produciendo (al mismo tiempo se van demandando las unidades) hasta alcanzar el punto de inventario máximo (Imax) en t2, de ahí en adelante se deja de producir y por efecto de la demanda se va reduciendo el inventario hasta llegar al punto de cero inventario. Pero la demanda sigue actuando, ya que aunque no se tienen unidades en inventario, se permite tener faltantes, llegando así hasta el punto de faltantes máximo S.

Los costos que se deben tener en cuenta en este modelo, son los mismos que en el modelo LEP sin faltante agregándole el costo por faltantes, de la sigueinte manera:

Como se puede apreciar, el costo va a ser una función de Q y S.

De la gráfica, tenemos las siguientes ecuaciones:

Reemplazando (6) y (7) en la ecuación del costo, tenemos que:

Reemplazando (8) en la ecuación anterior:

Multiplicando por N=D/Q, tenemos que:

Ahora se deriva y se iguala a cero para hallar los puntos óptimos:

Resolviendo el sistema de ecuaciones anterior, se llega a los siguientes resultados:

Para los faltantes óptimos:

Para las cantidades óptimas a fabricar:

Modelo EOQ con descuento por cantidades

En este modelo se tiene en cuenta un aspecto que se da muy a menudo en la realidad: el descuento que se recibe del proveedor dependiendo de las cantidades que se adquieran. Aquí lo desarrollaremos tomando en cuenta q no se admiten faltantes para mejor explicación. Toemos como ejemplo la siguiente situación: una empresa requiere de unas piezas para la elaboración de su producto final, para realizar la compra tiene varias opciones, como se muestra en la tabla. ¿Qué cantidad debería pedir para minimizar el costo del inventario?

Cantidad	Descuento	Costo unitario ($)
0-999	0	5
1000-2499	3%	4,85
2500 o más	5%	4,75

Asumamos un costo de pedir de 49 pesos por pedidos, un costo de mantener inventario del 20% y una demanda anual de 5000 unidades.

Lo primero que hay que hacer es hallar las cantidades óptimas para cada rango de cantidades, aplicando el modelo EOQ.

Para el rango 0-999

Para el rango 1000-2499

Como la cantidad que resulta es menor que la mínima del rango, es decir, cae por fuera del rango, se decide tomar la cantidad más cercana al resultado obtenido, en este caso sería 1000 unidades.

Para el rango 2500 o más

Como en el caso anterior, la cantidad que dió como resultado el modelo, no cae dentro del rango que se está analizando, por ende se debe tomar la cantidad más cercana que etsá dentro del rango, la cual es 2500.

Resuniendo:

Para 0-999 la cantida óptima es 700

Para 1000-2499 la cantidad óptima es 1000

Para 2500 o más la cantidad óptima es 2500.

Para saber cual es la cantidad más conveniente, basta con determinar el costo total anual con cada cantidad, el caso que presente el menor costo se considera el más conveniente para la empresa.

Con 700 unidades:

Con 1000 unidades:

Con 2500 unidades:

De los 3 costos, el menor es el que resulta de pedir 1000 unidades, por lo tanto esa es la cantidad óptima a pedir.

Modelo de inventario con demanda probabilística

Este modelo tiene en cuenta que la demanda de un producto no está totalmente determinada, pero se puede predecir su comportamiento de manera muy precisa. Teniendo en cuenta esto, en este modelo se manejan los conceptos de demanda media y desviación estándar. Otro aspecto muy importante que vale la pena acalarar es que este modelo se sigue teniendo en cuenta que el comportamiento de la demanda esta regido por la distribución normal.

Como podemos ver, la distribución normal tiene forma de capana de gauss con una probabilidad simétrica de 0,5 de lado y lado.

La media (µ) se refiere a la demanda promedio que tiene el producto y la desviación estándar (σ ) se refiere a la dispersión con la cual se presenta esa demanda. α es el error o riesgo que se tiene al seguir esta distribución.

El objetivo de este modelo es hallar el punto de reorden, es decir, la cantidad que garantiza que se tendrán productos suficientes para atender la demanda, teniendo en cuenta que los proveedores tienen un tiempo de respuesta (tiempo que transcurre desde que se emite el pedido hasta que el producto llega a la empresa).

Para ilustrar la aplicación de este modelo, tendremos en cuenta el siguiente ejemplo:

En una empresa comercial requiere una determinada cantidad del producto que vende. Se hizo un estudio y se obtuvo que la demanda media de promedio de sus productos es 154 semanalmente con una desviación estándar de 10 y el comportamiento de dicha demanda sigue una distribución normal. Se acuerda con el proveedor que el tiempo de respuesta es 2 semana. Si se quiere tener un error de solo 5%, ¿Cuál debe ser el punto de reorden?

Tenemos que:

µ = 154 σ = 10 α =5%

El punto de reorden viene dado por la media de la demanda más una cantidad denomincada stock, asi:

Donde z es el estadígrafo de la distribución normal, el cual va a depender del error α. Este estadígraafo se busca en las tablas de distribución normal. El stock es la cantidad de seguridad que se tiene para garantizar que se cumpla con las necesidades de demanda.
Hay que tener en cuenta que la desviación estandar que se nos suministra es en 1 semana, por lo cual debemos hacer el cálculo para las dos semanas, de la siguiente manera:

σ² = 100 -------------- 1 semana

x------------------------2 semanas


realizando la regla de 3, tenemos que para dos semamas:

Para la media para dos semas será 154*2 = 308. El error es de 0,05, para este error, el valor de z en las tablas de distribución noemal es 1,96. Con esto ya podemos hallar el punto de reorden.

Esto quiere decir que para garantizar que en el 95% se pueda atender la demanda satisfactoriamente se deben hacer pedidos de 308 unidades cuando el inevntario baje a 28.